測度論や関数解析の勉強をしていると,{displaystyle L^p }ノルムの極限が {displaystyle L^infty }ノルム(L無限大ノルム)であることを証明なしで用いている場合を目にします.そこでモヤモヤすることがあったので,その証明を調べることにしました.

問題を設定するため,以下の定義をしておきます.Rudin(1987) Definition 3.6とDefinition 3.7を参考にしています.

定義.
測度空間 {displaystyle (X, mathcal{F} ,mu) } を考える.
{displaystyle 0 lt p lt infty} とし,{displaystyle f : X 	o mathbb{C} } を複素数値可測関数,{displaystyle g : X 	o [ 0,infty ] } を可測関数とする.
{displaystyle ||f||_p = left{ int |f(x)|^p dmu(x) 
ight}^{1/p} }
を定義する.{displaystyle ||f||_p }{displaystyle f}{displaystyle L^p }-ノルムという.また,{displaystyle ||f||_p lt infty } を満たす全ての {displaystyle f } からなる集合を {displaystyle L^p(mu) } とする.
{displaystyle mathrm{ess} sup g = inf { alpha in [ 0 , infty  ] ; ; ; mu( { x : g(x) gt alpha } ) = 0 } }
を定義する.これを {displaystyle g } の本質的上限という.
{displaystyle ||f||_infty = mathrm{ess} sup |f| = inf { alpha in [ 0 , infty  ] ; ; ; mu( { x : |f(x)| gt alpha } ) = 0 } }
を定義する.{displaystyle ||f||_infty }{displaystyle f}{displaystyle L^infty }-ノルムという.また,{displaystyle ||f||_infty lt infty } を満たす全ての {displaystyle f } からなる集合を {displaystyle L^infty(mu) } とする.

 

以上の設定のもとで,本記事の目的に進みます.以下の命題と証明は,Stein and Shakarchi(2011) Proposition 2.2をほぼ引用したものです (和訳し,証明には説明を追加しています.また,{displaystyle f }{displaystyle f(x) } の二つの記号が混在していますが,同じ意味で使用しています).

命題 2.2
{displaystyle f in mathrm{L}^infty(mu)} とし,この {displaystyle f } は {displaystyle mu } が有限測度となる集合に台をもつとする.このとき,すべての {displaystyle p in (0,infty) } について {displaystyle f in mathrm{L}^p(mu)}であり,以下が成り立つ.
{displaystyle ||f||_p 	o ||f||_infty ;;; mathrm{as} ;;; p 	o infty. }

証明.
{displaystyle E subset X } を可測集合とし,{displaystyle mu(E) lt infty } とする.仮定より {displaystyle f(x) = 0  ; mathrm{for} ; mathrm{all} ;; x in E^c } である.{displaystyle mu(E) = 0 } ならば,{displaystyle E } 上で {displaystyle ||f||_p = ||f||_infty = 0 } であり証明の必要はない.{displaystyle mu(E) 
eq 0 } ならば,
{displaystyle ||f||_p = left( int_E |f|^p dmu 
ight)^{1/p} le left( int_E ||f||_{infty}^p dmu 
ight)^{1/p}   le ||f||_infty mu(E)^{1/p} longrightarrow ||f||_infty ;; mathrm{as} ;; p 	o infty  }
したがって,{displaystyle f in mathrm{L}^p(mu)} を得る.また {displaystyle lim sup_{p 	o infty}||f||_p le ||f||_infty } を得る.
次に,任意の {displaystyle epsilon gt 0 } に対してある {displaystyle delta gt 0 } が存在し
{displaystyle mu( { x: |f(x)| ge  ||f||_infty - epsilon } ) ge delta }
が成り立つ.したがって
{displaystyle int_X |f|^p dmu ge int_{{ x ; : ; |f(x)| ge  ||f||_infty - epsilon }} |f|^p dmu ge int_{{ x ; : ; |f(x)| ge ||f||_infty - epsilon }} (||f||_infty - epsilon )^p dmu ge delta (||f||_infty - epsilon )^p }
を得る.よって
{displaystyle lim inf_{p 	o infty}||f||_p = lim inf_{p 	o infty} left( int_X |f|^p dmu 
ight)^{1/p} ge lim inf_{p 	o infty} delta^{1/p} (||f||_infty - epsilon ) = ||f||_infty - epsilon }
であり,{displaystyle epsilon } は任意にとれるので {displaystyle lim inf_{p 	o infty}||f||_p ge ||f||_infty } を得る.
以上より,
{displaystyle lim inf_{p 	o infty}||f||_p = lim sup_{p 	o infty} ||f||_p = lim_{p 	o infty} ||f||_p = ||f||_infty }
であることが示せた.(証明終わり) 

 

以上,{displaystyle L^p }ノルムの極限が {displaystyle L^infty }ノルムであることを証明しました.


参考文献
[1] Rudin, W. (1987), Real and Complex Analysis (Third Edition), McGraw-Hill Book Company.
[2] Stein, E., and Shakarchi, R. (2011), Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis, Princeton University Press.